窗函數・補零・Cooley-Tukey・THD ── 從示波器 CSV 到 Excel 的完整流程
最後還有免費FFT 頻譜分析工具
前言
每當你用示波器擷取波形並匯出成 CSV，你拿到的是一段訊號的時域快照。頻率內容──有哪些諧波、各自有多大、總諧波失真是多少──在你做**快速傅立葉轉換（FFT）**之前都是隱形的。
本文完整走過 FFT 分析流程的每一個步驟，從原始 CSV 資料到帶有完整標註的 Excel 輸出。我們會解釋每個步驟為什麼必要、Cooley-Tukey 如何讓 FFT 快到可以即時分析，以及窗函數的關鍵作用──特別是 Flat-top 窗在精確量測諧波振幅上的不可取代性。
步驟一 去直流（Remove DC Offset）
示波器訊號常常帶有一個固定的直流偏移。如果不去掉它，FFT 會在 0 Hz 產生一個巨大的尖峰，把其他頻率的成分全部淹沒。解決方法很簡單：把所有樣本的平均值算出來，然後每個樣本都減去它。
去直流後的值[i] = 原始訊號[i] — 平均值
圖 1 ── 左：含 DC 偏移的原始訊號（均值 = 0.60 V）。右：減去均值後，波形歸零於中心線。
去直流後，訊號的均值精確等於 0，所有 FFT 能量都正確代表振盪成分，而不是靜態偏移。
步驟二 補零（Zero-Padding）
Cooley-Tukey FFT 只有在 N 是 2 的次方時才能達到最佳效率。示波器擷取的點數幾乎不可能剛好是 2ⁿ。補零的做法是在訊號尾端填入 0，直到總長度達到下一個 2 的次方。10,000 個樣本對應的下一個值是 16,384。
圖 2 ── 左：100 個原始樣本。右：補入 28 個 0（橘色區域）達到 128 = ²⁷。補零讓 FFT 更快，也讓頻譜曲線更平滑，但不會提高真正的頻率解析度。
**重要：**補零不能增加頻率解析度。真正的解析度永遠是 Δf = fs / N原始點數。補零只是讓頻譜「插值得更密」，看起來更平滑。
步驟三 窗函數（Window Functions）
什麼是頻譜洩漏？
FFT 假設擷取的訊號會無限循環。如果訊號的末端無法平滑接回開頭***(這幾乎每次都發生)***邊界處的突然跳變會引入各種假頻率成分，擴散到整個頻譜。這就是頻譜洩漏（Spectral Leakage）。
窗函數如何解決？
窗函數是一條加權曲線，乘上每個樣本。它讓訊號兩端平滑地降到 0，頭尾自然接在一起，突變消失，洩漏大幅減少。
圖 3 ── 四種常見窗函數的形狀。矩形窗不做任何加權（最容易洩漏）；Hann 和 Hamming 兩端平滑歸零；Flat-top 頂部極度平坦，以犧牲頻率解析度換取最高振幅精度。
圖 4 ── 頻譜洩漏比較（訊號頻率為 5.7 Hz，不對齊任何 bin）。紅色虛線為真實頻率。矩形窗出現大量裙擺；Flat-top 的峰值即使不對齊 bin 仍最接近真實振幅。
窗函數比較表
Flat-top 窗的數學公式
我們使用的是 5 項餘弦疊加版本：
w(i) = 0.21558–0.41663cos(θ) + 0.27726cos(2θ) — 0.08358cos(3θ) + 0.00695cos(4θ)
其中 θ = 2π·i / (N−1)。各項係數正負交替，讓函數在兩端略微低於 0，這正是頂部能如此平坦的原因。
步驟四 Cooley-Tukey FFT 演算法
直接計算離散傅立葉轉換（DFT）需要 O(N²) 次運算。N = 16,384 時約需 2 億 6 千萬次乘法。Cooley-Tukey 演算法利用對稱性，把複雜度壓到 O(N log₂N)，約 22 萬次，速度提升約 1,000 倍。
核心概念
演算法的關鍵洞察是：一個 N 點 DFT 可以分拆成兩個 N/2 點 DFT。反覆二分，直到變成 1 點 DFT（結果就是原值本身），再由下往上合併，過程稱為蝶形運算（Butterfly Operation）。
圖 5 ── N=8 的蝶形運算示意圖。三個階段（log₂8 = 3）從 bit-reversal 排列的輸入產生完整頻譜。每個階段用複數旋轉因子（twiddle factor）合併相鄰配對。
• 第一階段 ── Bit-reversal 排列：把輸入重新排序，使遞迴二分對應到簡單的索引交錯
• 第二階段 ── 蝶形運算：log₂(N) 個回合，每回合用旋轉因子 e^(−j2πk/N) 合併相鄰配對
最終結果與直接 DFT 完全相同，但快上千倍。
步驟五 振幅補償（Amplitude Correction Factor, ACF）
加了窗函數之後，訊號整體能量被壓低了──大多數樣本的加權係數都小於 1。不補償的話，頻譜上的每個振幅都會比真實值小。振幅修正因子（ACF）補回這個誤差：
振幅 = |FFT(i)| × (2 / N) × ACF
公式三個部分各司其職：
• |FFT(i)| ── FFT 複數輸出的絕對值（模）
• 2 / N ── FFT 正規化係數，同時補回正負頻率各佔一半的因素
- ACF ── 窗函數專屬補償係數：Flat-top = 4.638、Hann = 2.0、Hamming = 1.852
圖 6 ── 淡色柱 = ACF 補償前，深色柱 = 補償後，紅色虛線 = 真實振幅（1.0 V）。補償後三種窗函數都能恢復正確峰值，但 Flat-top 在頻率不對齊 bin 時誤差最小。
步驟六 諧波提取與 THD
找基頻
計算完所有振幅後，掃描頻譜（排除 DC bin）找到最大的峰值，那就是基頻 f₁。我們的示波器資料結果是 228.9 Hz。
提取各次諧波
諧波是基頻的整數倍：2f₁、3f₁、…、10f₁。對每一個目標頻率，找到最近的 FFT bin 索引，讀取其振幅：
bin 索引 = round(諧波次數 × 基頻 / 頻率解析度)
總諧波失真（THD）
THD 衡量訊號中非基頻成分佔整體的比例，是電力品質的關鍵指標：
THD = sqrt(A²² + A³² + … + A1⁰²) / A1
圖 7 ── 左：log 刻度的諧波振幅。基頻（藍色）228.9 Hz 主導訊號，所有諧波（紅色）至少低 40 dB。右：能量佔比圓餅圖，THD = 1.37%，代表訊號非常純淨。
THD 1.37% 遠低於 IEC 61000–3–2 Class A 奇次諧波限值 15%，確認訊號來源具有高度線性。
完整流程總結
以下是用 web 實作的完整諧波分析流程：
• 讀取任何 Tektronix 示波器 CSV（D 欄 = 時間、E 欄 = 電壓）
• 選擇窗函數：Flat-top、Hann、Hamming 或矩形（無窗）
• 程式自動去直流、加窗、補零至 2 的次方、執行 Cooley-Tukey FFT、振幅補償、提取 10 次諧波並計算 THD
- 輸出 csv，包含Harmonic Summary, THD等等資訊
有興趣歡迎使用!